Gebrochenrationale Funktionen

$f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}$

Gebrochen rationalen Funktionen enthalten im Nenner mindestens ein $x$ . Es ist nur ein echter Bruch wenn der Nenner größer als der Zähler ist, denn sonst lässt sich der Bruch durch eine Polynomdivison umformen. Hier ein Beispiel an normalen Brüchen:

Echt:$\frac{1}{8}$ oder $\frac{x^2-4x+1}{x^3-5}$

Unecht:$\frac{26}{26}$ oder $\frac{x^3+4x}{x^3+4x}$ oder $1\frac{3}{4}$ oder $\frac{x^3-2x}{15x+3}=0,0\overline{6}x^2-0,0\overline{13}x-0,130+\frac{0,392}{15x+3}$

Wie bei anderen Funktionen kann allen reellen Zahlen ein Y-Wert durch das Einsetzen in X zugeordnet werden. Allerdings mit einer Ausnahme. Die Mathematik konnte noch nicht herausfinden, was für ein Ergebnis man erhält, wenn man durch Null teilt. Deswegen ist dort eine Definitionslücke (senkrechte Asymptote). Es gilt folgende Bedingung: Wenn $N(x)=0$ ist, ist $x$ die Ausnahme des Definitionsbereiches. Dargestellt wird das folgendermaßen: $D = \R \ \{ x|N(x)=0\}$ .

Den Asymptoten nähert der Graph sich an, erreicht sie jedoch niemals.

Senkrechte (vertikale) Asymptote

• $N(x)=0$
• Ist außerdem der Definitionsbereich
• Wenn die Nullstelle an der gleichen Stelle wie die Definitionslücke ist, ist dort keine Nullstelle sondern eine hebbare Lücke. Es gilt $N(x)=0$ und $Z(x)=0$ .
• Ist es eine doppelte Nullstelle, ist es eine Polstelle ohne VZW

Waagerechte Asymptote

1. Ist Zählergrad < Nennergrad dann gilt: $y \rightarrow 0$
2. Ist Zählergrad = Nennergrad dann liegt die Asymptote bei $\frac{z}{n}$ wenn $\frac{zx^n+bx}{nx^n+dx}$
3. Ist Zählergrad > Nennergrad dann muss eine Polynomdivision durchgeführt werden. Dabei ist dann das Ergebnis (ohne Rest, weil der im Unendlichen gegen Null läuft) die Funktion der schiefen Asymptote

Zählergrad meint im Zähler den höchsten Exponenten. Dasselbe gilt für den Nennergrad.

Symmetrie zum Ursprung (Punktsymmetrie), wenn $f(-x)=-f(x)$

Bsp.: $f(-x)= \frac{2(-x)}{(-x)^2+3} \rightarrow \frac{-x}{x}=-f(x)$

Symmetrie zur Y-Achse, wenn $f(-x)=f(x)$

Bsp.: $f(-x)= \frac{6(-x)^4}{(-x)^2+15} \rightarrow \frac{x}{x}=f(x)$

Grundsätzlich gilt: $f(x)= \frac{Z(x)}{(N(x))^n}=Z(x) \times (N(x))^{-n}$ und $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{0,5}}=1 \times 2^{-0,5}$

Produktregel: $f= u \times v \rightarrow f&#x27;=u&#x27; \times v + u \times v&#x27;$

Die Produktregel muss angewendet werden wenn u und v mindestens ein x enthalten. Beispiel:

$f(x)=x^{-1}(x^2-2)$

$u=x^{-1} \rightarrow u&#x27;=-1x^{-2}$ und $v=x^2-2 \rightarrow v&#x27;=2x$

$f&#x27;&#x27;(x)=-x^(-2) \times (x^2-2) + x^{-1} \times 2x \rightarrow \frac{x^2-2}{x^2} + \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}}$

Kettenregel: $f=u[v(x)]^n \rightarrow f&#x27;(x)=n \times u&#x27;[v(x)]^{n-1} \times v&#x27;(x)$

Sie wird bei Funktionen bei denen ein x ausgeklammert wurde angewendet. Beispiel:

$f(x)=1 \times (x^2-15)^{-2}$

...

Die Isoquante (gebrochen rationale Funktion) $I_{Output}(x) = \frac{a}{x-b} + c$ zeigt die Kombination von $X$ und $Y$ , die $Output$ erzeugt, während die Isokostengerade $I_k(x)=mx+b = x \times px + y \times py = - \frac{px}{py} + \frac{K}{py}$ die Kosten ($k$) sichtbar macht.

Mathematischer Ansatz

Wenn die Tangente $I_K$ die Isoquante schneidet haben beide die gleiche Steigung. Bedeutet: $I_K(x)$$= I_{Output}(x)$ und $I&#x27;_K(x) = I&#x27;_{Output}(x)$

Eine Isoquante bestimmen

Die Isoquante hat 3 Buchstaben (außer x) und braucht somit 3 Punkte um bestimmt zu werden. $I_{Output}(x)= \frac{a}{x-b} +c$ wird umgeformt zu $I_{Output}(x)=a+yb+xc-bc=xy$ und die Punkte werden eingesetzt.

$\begin{pmatrix} 1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; -1 &amp; 6 \\ 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 6 \\ 1 &amp; 1 &amp; 6 &amp; -1 &amp; 6 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow{rref}$ $\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 6 \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \end{pmatrix}$

$a-bc=a-1(0 \times 0)=6, b=0, c=0$

Beispiel der Rechnung:

1. $x$ berechnen ...
2. $y$ berechnen ...
3. $x$ und $y$ in $I_K(x)$ einsetzen, um für die Minimalkosten zu erhalten ...