Integrieren ist das Gegenstück zum Differenzieren. Beim ihm wird abgeleitet. Also wird beim Integrieren aufgeleitet. Die Aufleitung heißt Stammfunktion und wird wie folgt gebildet:

$$f(x)=a\times x^n \Rightarrow F(x)=\frac{a}{n+1}\times x^{n+1}$$

§§f(x)=u(x)\pm v(x) \Rightarrow F(x)=U(x)\pm V(x)

$$f(x)=x\Rightarrow F(x)=\frac{1}{1+1}\times x^{1+1}\rightarrow F(x)=0,5x^2$$

Beim Ableiten fällt das konstante Glied weg. So hat eine Funktion f(x) unendlich viele Stammfunktionen, die sich durch die sogenannte Integralkonstante C unterscheiden. Um die Menge aller Stammfunktionen (unbestimmtes Integral) zu erhalten, wird die Konstante C zu der aufgeleiteten Funktion F(x) addiert. Mit einem zusätzlich gegebenen Punkt kann C bestimmt werden.

$$\int_{}^{}f(x)dx=F(x)+C$$

• Integralzeichen: mathematischer Befehl zum Integrieren (S von "Summe")
• Integrand: Funktion, die integriert werden soll
• Integrationsvariale, nach der integriert werden soll
• Stammfunktion: Aufleitung des Integranden nach Variablen
• Integrationskonstante, \(C\in \Reals\)

Beispiel 1:

$$i'(x)=6x^2\Rightarrow i(x)=2x^3+3t^2\Rightarrow \int_{}^{}i(x)dx=I(x)0,5x^4+3t^2x+C$$

Hier wird \(x\) integriert, sodass sich \(t^2\) nicht verändert, sondern ganz normal aufgeleitet wird

Beispiel 2:

Die Stammfunktion F von \(f(x)=-8x^3+x^2-3\) verläuft durch den Punkt P(-1|2)

$$\begin{alignedat}{3} F(x)&=-2x^4+\frac{1}{3}x^3-3x+C\\ F(-1)=2&=-2\times (-1)^4+\frac{1}{3}\times (-1)^3-3\times (-1)+C\\ 2&=-2-\frac{1}{3}+3+C&\space |+2|+\frac{1}{3}|-3\\ 1\frac{1}{3}&=C\end{alignedat}$$